Loi hypergéométrique

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Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Définition

Définition :
\(\mathcal{Hypergéom}(N,M,n)\) est la loi du nombre d'objets remarquables tirés quand on tire au hasard sans remise \(n\) objets dans un tas de \(N\) objets dont \(M\) sont remarquables

Formule

Loi hypergéométrique de paramètres \(n\in{\Bbb N}^*,M\in\{0,\ldots,N\}\) et \(n\in\{1,\ldots,N\}\) : $$X\sim{{\mathcal{Hypergéom}(N,M,n)}}\iff P(X=k)=\begin{cases}{{\cfrac{\binom Mk\binom{N-M}{n-k} }{\binom Nk} }}&\text{si}\quad {{0\leqslant k\leqslant M\quad\text{ et }\quad0\leqslant n-k\leqslant N-M}}\\ {{0}}&\text{sinon.}&\end{cases}$$

Propriétés

Théorème de convergence des hypergéométriques vers les binomiales

Liens avec la loi de Bernoulli

Proposition :
$$\mathcal{Hypergéom}({{N,1,n}})={{\mathcal{Ber}\left(\frac nN\right)}}$$

(Loi de Bernoulli)

Liens avec une mesure de Dirac

Proposition : $$\mathcal{Hypergéom}({{N,M,N}})={{\delta_M}}$$

(Mesure de Dirac)

Espérance

$$X\sim{{\mathcal{Hypergéom}(N,M,n)}}\implies E(X)={{n\frac MN}}$$